Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1325

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{x(e^x+1)-2(e^x-1)}{x^3}

Ответ:

\dfrac{1}{6}

Решение

Раскроем скобки в числителе:

\lim_{x\to0}\frac{xe^x + x - 2e^x + 2}{x^3}

При

x \to 0

имеем неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(xe^x + x - 2e^x + 2)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{e^x + xe^x + 1 - 2e^x}{3x^2} = \lim_{x\to0}\frac{xe^x - e^x + 1}{3x^2}

Получили снова

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\lim_{x\to0}\frac{(xe^x - e^x + 1)'}{(3x^2)'} = \lim_{x\to0}\frac{e^x + xe^x - e^x}{6x} = \lim_{x\to0}\frac{xe^x}{6x}

Сократим дробь на

x

\lim_{x\to0}\frac{e^x}{6} = \frac{e^0}{6} = \frac{1}{6}

Проверка

Числители и знаменатели на обоих шагах дифференцируемы и стремятся к нулю. Производные знаменателей

3x^2

6x

ненулевые при

x\ne0

; конечный предел после сокращения обосновывает оба применения правила.