Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1318

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} \qquad (b \ne 0)

Ответ:

\dfrac{a}{b}

Решение

Идея

При

x \to 0

числитель и знаменатель стремятся к нулю, то есть мы имеем неопределённость вида

\left[\frac{0}{0}\right]

Функции

f(x) = \sin ax

g(x) = \sin bx

непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки

x = 0

, причём

g'(x) = b\cos bx \ne 0

при достаточно малых

x \ne 0

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x\to0}\frac{(\sin ax)'}{(\sin bx)'} = \lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx}

Вычислим предел полученного отношения, учитывая, что

\lim\limits_{x\to0}\cos ax = 1

\lim\limits_{x\to0}\cos bx = 1

\lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b}