Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1318

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1318

lim⁡x→0sin⁡axsin⁡bx(b≠0)\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} \qquad (b \ne 0)
Ответ:ab\dfrac{a}{b}

Решение

При x→0x \to 0 числитель и знаменатель стремятся к нулю, то есть мы имеем неопределённость вида [00]\left[\frac{0}{0}\right].
Функции f(x)=sin⁡axf(x) = \sin ax и g(x)=sin⁡bxg(x) = \sin bx непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x=0x = 0, причём g′(x)=bcos⁡bx≠0g'(x) = b\cos bx \ne 0 при достаточно малых x≠0x \ne 0. Применим правило Лопиталя:lim⁡x→0sin⁡axsin⁡bx=lim⁡x→0(sin⁡ax)′(sin⁡bx)′=lim⁡x→0acos⁡axbcos⁡bx\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x\to0}\frac{(\sin ax)'}{(\sin bx)'} = \lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx}Вычислим предел полученного отношения, учитывая, что lim⁡x→0cos⁡ax=1\lim\limits_{x\to0}\cos ax = 1 и lim⁡x→0cos⁡bx=1\lim\limits_{x\to0}\cos bx = 1:lim⁡x→0acos⁡axbcos⁡bx=a⋅1b⋅1=ab\lim_{x\to0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b}