Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1341

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1341

lim⁡x→+0xεln⁡x,ε>0\lim_{x\to+0}x^\varepsilon\ln x, \qquad\varepsilon>0
Ответ:00

Решение

При x→+0x \to +0 имеем xε→0x^\varepsilon \to 0 (так как ε>0\varepsilon > 0) и ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty. Это неопределённость вида [0⋅(−∞)][0 \cdot (-\infty)].
Представим выражение в виде дроби для использования правила Лопиталя [∞∞]\left[\frac{\infty}{\infty}\right]:
lim⁡x→+0ln⁡xx−ε\lim_{x\to+0}\frac{\ln x}{x^{-\varepsilon}}Применяем правило Лопиталя:lim⁡x→+0(ln⁡x)′(x−ε)′=lim⁡x→+01x−εx−ε−1=lim⁡x→+0xε+1−εx=lim⁡x→+0xε−ε\lim_{x\to+0}\frac{(\ln x)'}{(x^{-\varepsilon})'} = \lim_{x\to+0}\frac{\frac{1}{x}}{-\varepsilon x^{-\varepsilon-1}} = \lim_{x\to+0}\frac{x^{\varepsilon+1}}{-\varepsilon x} = \lim_{x\to+0}\frac{x^\varepsilon}{-\varepsilon}Так как ε>0\varepsilon > 0, предел степенной функции xεx^\varepsilon при x→+0x \to +0 равен 00:0−ε=0\frac{0}{-\varepsilon} = 0

Проверка

При x>0x>0 производная знаменателя −εx−ε−1-\varepsilon x^{-\varepsilon-1} не равна нулю, а числитель и знаменатель по модулю стремятся к бесконечности. Предел отношения производных равен нулю, поэтому правило применимо.
Демидович № 1341 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика