Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1335

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1335

lim⁡x→0Arsh⁡(sh⁡x)−Arsh⁡(sin⁡x)sh⁡x−sin⁡x,где Arsh⁡x=ln⁡(x+1+x2)\lim_{x\to0} \frac{\operatorname{Arsh}(\operatorname{sh}x)-\operatorname{Arsh}(\sin x)}{\operatorname{sh}x-\sin x}, \qquad \text{где } \operatorname{Arsh}x=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
Ответ:11

Решение

Поскольку функция Arsh⁡t\operatorname{Arsh}t является обратной к sh⁡t\operatorname{sh}t, справедливо тождество Arsh⁡(sh⁡x)=x\operatorname{Arsh}(\operatorname{sh}x) = x. Перепишем предел:
lim⁡x→0x−Arsh⁡(sin⁡x)sh⁡x−sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{x-\operatorname{Arsh}(\sin x)}{\operatorname{sh}x-\sin x}При x→0x \to 0 имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя, учитывая, что (Arsh⁡u)′=u′1+u2(\operatorname{Arsh} u)' = \frac{u'}{\sqrt{1+u^2}}:lim⁡x→0(x−Arsh⁡(sin⁡x))′(sh⁡x−sin⁡x)′=lim⁡x→01−cos⁡x1+sin⁡2xch⁡x−cos⁡x\lim_{x\to0}\frac{(x-\operatorname{Arsh}(\sin x))'}{(\operatorname{sh}x-\sin x)'} = \lim_{x\to0}\frac{1-\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}}{\operatorname{ch}x-\cos x}Приведём числитель к общему знаменателю:lim⁡x→01+sin⁡2x−cos⁡x(ch⁡x−cos⁡x)1+sin⁡2x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin^2 x}-\cos x}{(\operatorname{ch}x-\cos x)\sqrt{1+\sin^2 x}}Так как множитель 11+sin⁡2x\frac{1}{\sqrt{1+\sin^2 x}} при x→0x \to 0 стремится к 11, его можно вынести за знак предела:lim⁡x→01+sin⁡2x−cos⁡xch⁡x−cos⁡x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\sin^2 x}-\cos x}{\operatorname{ch}x-\cos x}Имеем неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя второй раз:lim⁡x→02sin⁡xcos⁡x21+sin⁡2x−(−sin⁡x)sh⁡x−(−sin⁡x)=lim⁡x→0sin⁡x(cos⁡x1+sin⁡2x+1)sh⁡x+sin⁡x\lim_{x\to0}\frac{\frac{2\sin x\cos x}{2\sqrt{1+\sin^2 x}}-(-\sin x)}{\operatorname{sh}x-(-\sin x)} = \lim_{x\to0}\frac{\sin x \left( \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} + 1 \right)}{\operatorname{sh}x+\sin x}Разделим числитель и знаменатель дроби на xx:lim⁡x→0sin⁡xx(cos⁡x1+sin⁡2x+1)sh⁡xx+sin⁡xx\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x} \left( \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin^2 x}} + 1 \right)}{\frac{\operatorname{sh}x}{x}+\frac{\sin x}{x}}Используя первый замечательный предел lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1 и эквивалентность lim⁡x→0sh⁡xx=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\operatorname{sh}x}{x} = 1, перейдём к пределу:1⋅(11+0+1)1+1=1⋅(1+1)2=1\frac{1 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1+0}} + 1 \right)}{1 + 1} = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1

Проверка

При x≠0x\ne0 имеем ch⁡x>1≥cos⁡x\operatorname{ch}x>1\ge\cos x, поэтому первый знаменатель после дифференцирования положителен. Для малого x≠0x\ne0 числа sh⁡x\operatorname{sh}x и sin⁡x\sin x имеют знак xx, значит, их сумма во втором знаменателе ненулевая. Это проверяет оба применения Лопиталя к виду 0/00/0.
Демидович № 1335 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика