Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1327

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

\lim_{x\to0}\frac{\arcsin2x-2\arcsin x}{x^3}

Ответ:

1

Решение

Идея

При

x \to 0

возникает неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя:

\lim_{x\to0}\frac{(\arcsin2x-2\arcsin x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}

Вынесем константу

\frac{2}{3}

и запишем корни в виде степеней с отрицательным показателем для удобства дифференцирования:

\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{(1-4x^2)^{-\frac{1}{2}} - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}}{x^2}

Получили неопределённость

\left[\frac{0}{0}\right]

. Применим правило Лопиталя второй раз:

\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-8x) - \left(-\frac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2x)}{2x}

Упростим числитель:

\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{4x(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} - x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}}{2x}

Сократим числитель и знаменатель на

x \ne 0

\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{4(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} - (1-x^2)^{-\frac{3}{2}}}{2} = \frac{1}{3} \lim_{x\to0} \left( \frac{4}{\sqrt{(1-4x^2)^3}} - \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \right)

Вычислим предел прямой подстановкой

x = 0

\frac{1}{3} \left( \frac{4}{1} - \frac{1}{1} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1