Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 9. Раскрытие неопределённостей

Демидович — задача 1327

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить значение выражения:

Задача 1327

lim⁡x→0arcsin⁡2x−2arcsin⁡xx3\lim_{x\to0}\frac{\arcsin2x-2\arcsin x}{x^3}
Ответ:11

Решение

При x→0x \to 0 возникает неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя:
lim⁡x→0(arcsin⁡2x−2arcsin⁡x)′(x3)′=lim⁡x→021−4x2−21−x23x2\lim_{x\to0}\frac{(\arcsin2x-2\arcsin x)'}{(x^3)'} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}}{3x^2}Вынесем константу 23\frac{2}{3} и запишем корни в виде степеней с отрицательным показателем для удобства дифференцирования:23lim⁡x→0(1−4x2)−12−(1−x2)−12x2\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{(1-4x^2)^{-\frac{1}{2}} - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}}{x^2}Получили неопределённость [00]\left[\frac{0}{0}\right]. Применим правило Лопиталя второй раз:23lim⁡x→0−12(1−4x2)−32⋅(−8x)−(−12)(1−x2)−32⋅(−2x)2x\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-8x) - \left(-\frac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2x)}{2x}Упростим числитель:23lim⁡x→04x(1−4x2)−32−x(1−x2)−322x\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{4x(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} - x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}}{2x}Сократим числитель и знаменатель на x≠0x \ne 0:23lim⁡x→04(1−4x2)−32−(1−x2)−322=13lim⁡x→0(4(1−4x2)3−1(1−x2)3)\frac{2}{3} \lim_{x\to0}\frac{4(1-4x^2)^{-\frac{3}{2}} - (1-x^2)^{-\frac{3}{2}}}{2} = \frac{1}{3} \lim_{x\to0} \left( \frac{4}{\sqrt{(1-4x^2)^3}} - \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \right)Вычислим предел прямой подстановкой x=0x = 0:13(41−11)=13⋅3=1\frac{1}{3} \left( \frac{4}{1} - \frac{1}{1} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1

Проверка

Работаем при 0<∣x∣<1/20<|x|<1/2, где оба арксинуса дифференцируемы. Производные знаменателей на двух шагах — 3x23x^2 и 2x2x — не равны нулю, и на каждом шаге имеется неопределённость 0/00/0.
Демидович № 1327 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика