Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 446

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 446

lim⁡x→08+3x−x23−2x+x2.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}.

Решение

При x→0x\to0 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Используем формулу разности кубов: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2).a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). Имеем (8+3x−x23)3−23=3x−x2=x(3−x).\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}\right)^3-2^3=3x-x^2=x(3-x). Отсюда 8+3x−x23−2=x(3−x)(8+3x−x23)2+28+3x−x23+4.\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2
=
\frac{x(3-x)}
{\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}\right)^2+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4}. Так как x+x2=x(1+x)x+x^2=x(1+x), при x≠0x\neq0 получаем 8+3x−x23−2x+x2=3−x(1+x)[(8+3x−x23)2+28+3x−x23+4].\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}
=
\frac{3-x}
{(1+x)\left[\left(\sqrt[3]{8+3x-x^2}\right)^2
+2\sqrt[3]{8+3x-x^2}+4\right]}. При x→0x\to0: 8+3x−x23→2.\sqrt[3]{8+3x-x^2}\to2.
lim⁡x→08+3x−x23−2x+x2=34+4+4=14.\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt[3]{8+3x-x^2}-2}{x+x^2}
=
\frac{3}{4+4+4}
=
\frac14
.