Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 433

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 433

lim⁡n→∞13+43+73+…+(3n−2)3[1+4+7+…+(3n−2)]2.\lim_{n\to\infty}\frac{1^3+4^3+7^3+\ldots+(3n-2)^3}{[1+4+7+\ldots+(3n-2)]^2}.

Решение

Обозначим S1=1+4+7+…+(3n−2).S_1=1+4+7+\ldots+(3n-2). Это сумма первых nn членов арифметической прогрессии с первым членом 11 и последним членом 3n−23n-2, поэтому S1=n(1+3n−2)2=n(3n−1)2.S_1=\frac{n(1+3n-2)}2=\frac{n(3n-1)}2.
Рассмотрим сумму кубов: S3=13+43+73+…+(3n−2)3=∑k=1n(3k−2)3.S_3=1^3+4^3+7^3+\ldots+(3n-2)^3
=\sum_{k=1}^{n}(3k-2)^3. Раскроем куб: (3k−2)3=27k3−54k2+36k−8.(3k-2)^3=27k^3-54k^2+36k-8. Отсюда S3=27∑k=1nk3−54∑k=1nk2+36∑k=1nk−8n.S_3
=
27\sum_{k=1}^{n}k^3
-54\sum_{k=1}^{n}k^2
+36\sum_{k=1}^{n}k
-8n.
Используем известные формулы ∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6,∑k=1nk3=n2(n+1)24.\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2,
\quad
\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,
\quad
\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}. Подставляя их, получаем S3=27n2(n+1)24−9n(n+1)(2n+1)+18n(n+1)−8n.S_3 = \frac{27n^2(n+1)^2}{4} -9n(n+1)(2n+1) +18n(n+1) -8n.

Вынесем общий множитель n4\dfrac n4: S3=n4[27n(n+1)2−36(n+1)(2n+1)+72(n+1)−32].S_3 = \frac n4 \left[ 27n(n+1)^2 -36(n+1)(2n+1) +72(n+1) -32 \right].

Раскроем скобки: 27n(n+1)2=27n3+54n2+27n,27n(n+1)^2=27n^3+54n^2+27n, −36(n+1)(2n+1)=−72n2−108n−36,-36(n+1)(2n+1)=-72n^2-108n-36, 72(n+1)=72n+72.72(n+1)=72n+72.

Тогда S3=n4(27n3−18n2−9n+4).S_3 = \frac n4 \left( 27n^3-18n^2-9n+4 \right). Многочлен в скобках раскладывается на множители: 27n3−18n2−9n+4=(3n−1)(9n2−3n−4).27n^3-18n^2-9n+4 = (3n-1)(9n^2-3n-4). Отсюда S3=n(3n−1)(9n2−3n−4)4.S_3 = \frac{n(3n-1)(9n^2-3n-4)}4.

Проверка

Подставим найденные выражения в исходную дробь: S3S12=n(3n−1)(9n2−3n−4)4(n(3n−1)2)2.\frac{S_3}{S_1^2}
=
\frac{\dfrac{n(3n-1)(9n^2-3n-4)}4}
{\left(\dfrac{n(3n-1)}2\right)^2}. Так как (n(3n−1)2)2=n2(3n−1)24,\left(\frac{n(3n-1)}2\right)^2 = \frac{n^2(3n-1)^2}{4}, то S3S12=n(3n−1)(9n2−3n−4)n2(3n−1)2=9n2−3n−4n(3n−1).\frac{S_3}{S_1^2}
=
\frac{n(3n-1)(9n^2-3n-4)}
{n^2(3n-1)^2}
=
\frac{9n^2-3n-4}{n(3n-1)}. Раскроем знаменатель: 9n2−3n−43n2−n.\frac{9n^2-3n-4}{3n^2-n}. Разделим числитель и знаменатель на n2n^2: 9−3n−4n23−1n.\frac{9-\dfrac3n-\dfrac4{n^2}}
{3-\dfrac1n}. При n→∞n\to\infty имеем 1n→0,1n2→0.\frac1n\to0, \quad \frac1{n^2}\to0. По теореме о пределе отношения lim⁡n→∞13+43+73+…+(3n−2)3[1+4+7+…+(3n−2)]2=93=3.\lim_{n\to\infty}
\frac{1^3+4^3+7^3+\ldots+(3n-2)^3}
{[1+4+7+\ldots+(3n-2)]^2}
=
\frac93=3
.