Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 438

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 438

lim⁡x→−81−x−32+x3.\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}.

Решение

При x→−8x\to-8 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Сначала преобразуем числитель: 1−x−3=1−x−91−x+3=−x+81−x+3.\sqrt{1-x}-3 = \frac{1-x-9}{\sqrt{1-x}+3} = -\frac{x+8}{\sqrt{1-x}+3}. Тогда 1−x−32+x3=−x+8(1−x+3)(x3+2).\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}
=
-\frac{x+8}{(\sqrt{1-x}+3)(\sqrt[3]{x}+2)}.
Используем формулу суммы кубов: x+8=(x3)3+23=(x3+2)(x2/3−2x3+4).x+8=(\sqrt[3]{x})^3+2^3
=
(\sqrt[3]{x}+2)
\left(x^{2/3}-2\sqrt[3]{x}+4\right). Сокращая множитель x3+2\sqrt[3]{x}+2, получаем 1−x−32+x3=−x2/3−2x3+41−x+3.\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}
=
-\frac{x^{2/3}-2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{1-x}+3}. При переходе к пределу имеем −(−8)2/3−2−83+41−(−8)+3=−4+4+43+3=−2.-\frac{(-8)^{2/3}-2\sqrt[3]{-8}+4}{\sqrt{1-(-8)}+3}
=
-\frac{4+4+4}{3+3}
=-2.

Проверка

lim⁡x→−81−x−32+x3=−2.\lim_{x\to-8}\frac{\sqrt{1-x}-3}{2+\sqrt[3]{x}}
=-2
.