Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 464

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 464

lim⁡x→+∞x32(x+2−2x+1+x).\lim_{x\to+\infty}x^{\frac32}\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right).

Опирается на задачу 459

Решение

Идея

Так как x→+∞x\to+\infty, вынесем x\sqrt{x} из каждого корня:

Проверка

x+2=x1+2x,x+1=x1+1x.\sqrt{x+2}=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac2x},
\quad
\sqrt{x+1}=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac1x}. Тогда x3/2(x+2−2x+1+x)x^{3/2} \left( \sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x} \right) =x2(1+2x−21+1x+1).=
x^2
\left(
\sqrt{1+\frac2x}
-2\sqrt{1+\frac1x}
+1
\right). Это то же выражение, которое возникает в задаче 459. Преобразуем его: x2[(1+2x−1+1x)−(1+1x−1)].x^2
\left[
\left(\sqrt{1+\frac2x}-\sqrt{1+\frac1x}\right)
-
\left(\sqrt{1+\frac1x}-1\right)
\right]. Рационализируя обе разности, получаем x[11+2x+1+1x−11+1x+1].x\left[
\frac1{\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}}
-
\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}
\right]. После приведения к общему знаменателю и еще одной рационализации: −2(1+1+2x)(1+2x+1+1x)(1+1x+1).-\frac{2}
{
\left(1+\sqrt{1+\frac2x}\right)
\left(\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}\right)
\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)
}. При x→+∞x\to+\infty каждая скобка в знаменателе стремится к 22. Следовательно, lim⁡x→+∞x3/2(x+2−2x+1+x)=−14.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
x^{3/2}
\left(
\sqrt{x+2}-2\sqrt{x+1}+\sqrt{x}
\right)
=
-\frac14
}.
Демидович № 464 — решение