Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 459

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 459

lim⁡x→+∞x(x2+2x−2x2+x+x).\lim_{x\to+\infty}x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right).

Решение

Так как x→+∞x\to+\infty, вынесем xx из-под корней: x2+2x=x1+2x,x2+x=x1+1x.\sqrt{x^2+2x}=x\sqrt{1+\frac2x}, \quad \sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x}. Тогда
x(x2+2x−2x2+x+x)=x2(1+2x−21+1x+1).x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)
=
x^2\left(
\sqrt{1+\frac2x}
-2\sqrt{1+\frac1x}+1
\right). Запишем выражение в скобках как разность двух разностей: 1+2x−1+1x−(1+1x−1).\sqrt{1+\frac2x}
-\sqrt{1+\frac1x}
-
\left(
\sqrt{1+\frac1x}-1
\right). Рационализируем каждую из них: 1+2x−1+1x=1x1+2x+1+1x,\sqrt{1+\frac2x}-\sqrt{1+\frac1x}
=
\frac{\frac1x}
{\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}}, 1+1x−1=1x1+1x+1.\sqrt{1+\frac1x}-1
=
\frac{\frac1x}{\sqrt{1+\frac1x}+1}. Исходное выражение равно x[11+2x+1+1x−11+1x+1].x\left[
\frac1{\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}}
-
\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}
\right]. Приведем дроби к общему знаменателю: x 1−1+2x(1+2x+1+1x)(1+1x+1).x\,
\frac{
1-\sqrt{1+\frac2x}
}{
\left(\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}\right)
\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)
}. Еще раз рационализируем числитель: 1−1+2x=−2x1+1+2x.1-\sqrt{1+\frac2x}
=
-\frac{\frac2x}{1+\sqrt{1+\frac2x}}. Отсюда x(x2+2x−2x2+x+x)x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right) =−2(1+1+2x)(1+2x+1+1x)(1+1x+1).=
-\frac{2}
{
\left(1+\sqrt{1+\frac2x}\right)
\left(\sqrt{1+\frac2x}+\sqrt{1+\frac1x}\right)
\left(\sqrt{1+\frac1x}+1\right)
}. При x→+∞x\to+\infty каждая из трех скобок стремится к 22. Поэтому lim⁡x→+∞x(x2+2x−2x2+x+x)=−22⋅2⋅2=−14.\lim_{x\to+\infty}
x\left(\sqrt{x^2+2x}-2\sqrt{x^2+x}+x\right)
=
-\frac{2}{2\cdot2\cdot2}
=
-\frac14
.