Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 457

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 457

lim⁡x→+∞[(x+a)(x+b)−x].\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right].

Решение

Проверка

Умножим выражение на сопряженное: (x+a)(x+b)−x=(x+a)(x+b)−x2(x+a)(x+b)+x.\sqrt{(x+a)(x+b)}-x = \frac{(x+a)(x+b)-x^2} {\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}. Раскроем числитель: (x+a)(x+b)−x2=(a+b)x+ab.(x+a)(x+b)-x^2 = (a+b)x+ab. Тогда (x+a)(x+b)−x=(a+b)x+ab(x+a)(x+b)+x.\sqrt{(x+a)(x+b)}-x = \frac{(a+b)x+ab} {\sqrt{(x+a)(x+b)}+x}. Так как x→+∞x\to+\infty, делим числитель и знаменатель на xx: a+b+abx(1+ax)(1+bx)+1.\frac{a+b+\dfrac{ab}{x}}
{\sqrt{\left(1+\dfrac ax\right)
\left(1+\dfrac bx\right)}+1}. При x→+∞x\to+\infty все дроби с xx в знаменателе стремятся к нулю. Следовательно, lim⁡x→+∞[(x+a)(x+b)−x]=a+b2.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left[\sqrt{(x+a)(x+b)}-x\right]
=
\frac{a+b}{2}
}.
Демидович № 457 — решение