Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 478

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 478

lim⁡x→01+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡px−cos⁡px.\lim_{x\to0}\frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin px-\cos px}.

Опирается на

Решение

Считаем p≠0p\neq0, так как при p=0p=0 знаменатель тождественно равен нулю.
Сначала раскроем числитель и знаменатель как суммы: 1+sin⁡x−cos⁡x=sin⁡x+(1−cos⁡x),1+\sin x-\cos x = \sin x+(1-\cos x), 1+sin⁡px−cos⁡px=sin⁡px+(1−cos⁡px).1+\sin px-\cos px = \sin px+(1-\cos px). Тогда 1+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡px−cos⁡px=sin⁡xx+1−cos⁡xxsin⁡pxx+1−cos⁡pxx.\frac{1+\sin x-\cos x}
{1+\sin px-\cos px}
=
\frac{
\dfrac{\sin x}{x}
+
\dfrac{1-\cos x}{x}
}{
\dfrac{\sin px}{x}
+
\dfrac{1-\cos px}{x}
}.
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

По первому замечательному пределу sin⁡xx→1.\frac{\sin x}{x}\to1.

Кроме того, 1−cos⁡xx=x1−cos⁡xx2.\frac{1-\cos x}{x} = x\frac{1-\cos x}{x^2}. Из задачи а 1−cos⁡xx2→12,\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12, поэтому 1−cos⁡xx→0.\frac{1-\cos x}{x}\to0.
Теперь знаменатель. Имеем sin⁡pxx=psin⁡pxpx→p.\frac{\sin px}{x} = p\frac{\sin px}{px} \to p. Также 1−cos⁡pxx=p2x 1−cos⁡px(px)2.\frac{1-\cos px}{x} = p^2x\, \frac{1-\cos px}{(px)^2}.

При x→0x\to0 1−cos⁡px(px)2→12,\frac{1-\cos px}{(px)^2}\to\frac12, а p2x→0p^2x\to0, поэтому 1−cos⁡pxx→0.\frac{1-\cos px}{x}\to0.

Проверка

lim⁡x→01+sin⁡x−cos⁡x1+sin⁡px−cos⁡px=1+0p+0=1p.\lim_{x\to0}
\frac{1+\sin x-\cos x}
{1+\sin px-\cos px}
=
\frac{1+0}{p+0}
=
\frac1p
.