Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 473

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 473

lim⁡x→πsin⁡mxsin⁡nx(m и n — целые числа).\lim_{x\to\pi}\frac{\sin mx}{\sin nx}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Решение

Считаем n≠0n\neq0, так как при n=0n=0 знаменатель sin⁡nx\sin nx тождественно равен нулю.
Так как mm и nn – целые числа, запишем mx=mπ+m(x−π),nx=nπ+n(x−π).mx=m\pi+m(x-\pi), \quad nx=n\pi+n(x-\pi). Используем формулу sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β.\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. Поскольку sin⁡mπ=0,cos⁡mπ=(−1)m,\sin m\pi=0,\quad \cos m\pi=(-1)^m, получаем sin⁡mx=(−1)msin⁡(m(x−π)).\sin mx = (-1)^m\sin\bigl(m(x-\pi)\bigr). Аналогично, sin⁡nx=(−1)nsin⁡(n(x−π)).\sin nx = (-1)^n\sin\bigl(n(x-\pi)\bigr). Отсюда sin⁡mxsin⁡nx=(−1)m−nsin⁡(m(x−π))sin⁡(n(x−π)).\frac{\sin mx}{\sin nx}
=
(-1)^{m-n}
\frac{\sin\bigl(m(x-\pi)\bigr)}
{\sin\bigl(n(x-\pi)\bigr)}.
Если m≠0m\neq0, преобразуем дробь так, чтобы появились первые замечательные пределы: sin⁡(m(x−π))sin⁡(n(x−π))=mn⋅sin⁡(m(x−π))m(x−π)sin⁡(n(x−π))n(x−π).\frac{\sin\bigl(m(x-\pi)\bigr)}
{\sin\bigl(n(x-\pi)\bigr)}
=
\frac{m}{n}
\cdot
\frac{
\dfrac{\sin\bigl(m(x-\pi)\bigr)}{m(x-\pi)}
}{
\dfrac{\sin\bigl(n(x-\pi)\bigr)}{n(x-\pi)}
}. При x→πx\to\pi m(x−π)→0,n(x−π)→0.m(x-\pi)\to0, \quad n(x-\pi)\to0. По первому замечательному пределу sin⁡(m(x−π))m(x−π)→1,sin⁡(n(x−π))n(x−π)→1.\frac{\sin\bigl(m(x-\pi)\bigr)}{m(x-\pi)}\to1,
\quad
\frac{\sin\bigl(n(x-\pi)\bigr)}{n(x-\pi)}\to1. Отсюда lim⁡x→πsin⁡mxsin⁡nx=(−1)m−nmn.\lim_{x\to\pi}\frac{\sin mx}{\sin nx}
=
(-1)^{m-n}\frac{m}{n}
.

Проверка

Если m=0m=0, числитель тождественно равен нулю, и предел также равен 00, что согласуется с полученной формулой.