Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 445

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 445

lim⁡x→01−2x−x2−(1+x)x.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}.

Решение

Идея

При x→0x\to0 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю: 1−2x−x2−(1+x)x⋅1−2x−x2+(1+x)1−2x−x2+(1+x).\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}
\cdot
\frac{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}
{\sqrt{1-2x-x^2}+(1+x)}. Отсюда (1−2x−x2)−(1+x)2x(1−2x−x2+1+x).\frac{ (1-2x-x^2)-(1+x)^2 }{ x\left(\sqrt{1-2x-x^2}+1+x\right) }. Раскроем квадрат: (1−2x−x2)−(1+2x+x2)=−4x−2x2=−2x(2+x).(1-2x-x^2)-(1+2x+x^2) = -4x-2x^2 = -2x(2+x). При x≠0x\neq0 1−2x−x2−(1+x)x=−2(2+x)1−2x−x2+1+x.\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x} = -\frac{2(2+x)} {\sqrt{1-2x-x^2}+1+x}. При переходе к пределу имеем −2(2+0)1+1=−42=−2.-\frac{2(2+0)}{\sqrt1+1} = -\frac4{2} =-2.
lim⁡x→01−2x−x2−(1+x)x=−2.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1-2x-x^2}-(1+x)}{x}
=-2
}.
Демидович № 445 — решение