Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 448

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 448

lim⁡x→01+x−1−x1+x3−1−x3.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}.

Решение

При x→0x\to0 числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Преобразуем числитель: 1+x−1−x=(1+x)−(1−x)1+x+1−x=2x1+x+1−x.\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}
=
\frac{(1+x)-(1-x)}
{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}
=
\frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.

Проверка

Для знаменателя используем формулу разности кубов: 1+x3−1−x3=2x(1+x3)2+(1+x)(1−x)3+(1−x3)2.\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}
=
\frac{2x}
{\left(\sqrt[3]{1+x}\right)^2
+\sqrt[3]{(1+x)(1-x)}
+\left(\sqrt[3]{1-x}\right)^2}. При x≠0x\neq0 1+x−1−x1+x3−1−x3=(1+x3)2+1−x23+(1−x3)21+x+1−x.\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}
=
\frac{
\left(\sqrt[3]{1+x}\right)^2
+\sqrt[3]{1-x^2}
+\left(\sqrt[3]{1-x}\right)^2
}{
\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}
}. При x→0x\to0 все корни стремятся к 11. Поэтому lim⁡x→01+x−1−x1+x3−1−x3=1+1+11+1=32.\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}
{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}
=
\frac{1+1+1}{1+1}
=
\frac32
.