Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 480

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 480

lim⁡x→1(1−x)tg⁡πx2.\lim_{x\to1}(1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}.

Опирается на

Решение

Рассмотрим (1−x)tg⁡πx2.(1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}. Преобразуем угол: πx2=π2−π(1−x)2.\frac{\pi x}{2}
=
\frac\pi2-\frac{\pi(1-x)}2. По формуле tg⁡(π2−u)=ctg⁡u\operatorname{tg}\left(\frac\pi2-u\right)=\operatorname{ctg}u получаем tg⁡πx2=ctg⁡π(1−x)2.\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2} = \operatorname{ctg}\frac{\pi(1-x)}2. Отсюда (1−x)tg⁡πx2=(1−x)ctg⁡π(1−x)2.(1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}
=
(1-x)\operatorname{ctg}\frac{\pi(1-x)}2. Выделим выражение π(1−x)2:\frac{\pi(1-x)}2: (1−x)ctg⁡π(1−x)2=2π[π(1−x)2ctg⁡π(1−x)2].(1-x)\operatorname{ctg}\frac{\pi(1-x)}2
=
\frac2\pi
\left[
\frac{\pi(1-x)}2
\operatorname{ctg}\frac{\pi(1-x)}2
\right]. При x→1x\to1 π(1−x)2→0.\frac{\pi(1-x)}2\to0. Из результата задачи в в общем виде tctg⁡t=tcos⁡tsin⁡t=cos⁡tsin⁡tt→1.t\operatorname{ctg}t
=
\frac{t\cos t}{\sin t}
=
\frac{\cos t}{\dfrac{\sin t}{t}}
\to1.
lim⁡x→1(1−x)tg⁡πx2=2π.\lim_{x\to1}
(1-x)\operatorname{tg}\frac{\pi x}{2}
=
\frac2\pi
.