Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 470

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 470

Найти постоянные aia_i и bib_i (i=1,2i=1,2) из условий:lim⁡x→−∞(x2−x+1−a1x−b1)=0,\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_1x-b_1\right)=0,lim⁡x→+∞(x2−x+1−a2x−b2)=0.\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\right)=0.

Решение

Идея

Сначала рассмотрим предел при x→+∞x\to+\infty: x2−x+1=x1−1x+1x2.\sqrt{x^2-x+1} = x\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}. Отсюда x2−x+1x→1.\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}\to1. Для того, чтобы x2−x+1−a2x−b2→0,\sqrt{x^2-x+1}-a_2x-b_2\to0, необходимо взять a2=1.a_2=1.
  1. 1
    Найдем b2b_2. Рационализируем разность: x2−x+1−x=(x2−x+1)−x2x2−x+1+x=−x+1x2−x+1+x.\sqrt{x^2-x+1}-x
    =
    \frac{(x^2-x+1)-x^2}
    {\sqrt{x^2-x+1}+x}
    =
    \frac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+x}.     Делим числитель и знаменатель на xx: x2−x+1−x=−1+1x1−1x+1x2+1→−12.\sqrt{x^2-x+1}-x
    =
    \frac{-1+\frac1x}
    {\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}+1}
    \to-\frac12.     Отсюда b2=−12.b_2=-\frac12.
  2. 2
    Рассмотрим x→−∞x\to-\infty. В этом случае x2−x+1=(−x)1−1x+1x2,\sqrt{x^2-x+1} = (-x)\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}, так как ∣x∣=−x|x|=-x, поэтому x2−x+1x→−1,\frac{\sqrt{x^2-x+1}}{x}\to-1, и необходимо взять a1=−1.a_1=-1.
  3. 3
    Найдем b1b_1. При a1=−1a_1=-1 рассматриваем x2−x+1+x.\sqrt{x^2-x+1}+x. Рационализируем: x2−x+1+x=(x2−x+1)−x2x2−x+1−x=−x+1x2−x+1−x.\sqrt{x^2-x+1}+x
    =
    \frac{(x^2-x+1)-x^2}
    {\sqrt{x^2-x+1}-x}
    =
    \frac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}-x}.     Так как x<0x<0, разделим числитель и знаменатель на −x-x: x2−x+1+x=1−1x1−1x+1x2+1.\sqrt{x^2-x+1}+x
    =
    \frac{1-\frac1x}
    {\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}+1}.     При x→−∞x\to-\infty получаем x2−x+1+x→12.\sqrt{x^2-x+1}+x\to\frac12.

    b1=12.b_1=\frac12.

Проверка

a1=−1,b1=12,a2=1,b2=−12.\boxed{
a_1=-1,\quad b_1=\frac12,
\quad
a_2=1,\quad b_2=-\frac12
}.
Демидович № 470 — решение