Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 439

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 439

lim⁡x→ax−a+x−ax2−a2(a>0).\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}\quad(a>0).

Решение

Идея

Так как в выражении присутствует x−a\sqrt{x-a} и a>0a>0, функция определена в окрестности точки aa только при x≥ax\geq a. Поэтому фактически рассматривается предел при x→a+0x\to a+0.
Преобразуем разность корней: x−a=x−ax+a.\sqrt{x}-\sqrt{a} = \frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}. Кроме того, x2−a2=(x−a)(x+a)=x−ax+a.\sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{(x-a)(x+a)} = \sqrt{x-a}\sqrt{x+a}. Отсюда x−a+x−ax2−a2=x−ax+a+x−ax−ax+a.\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}
=
\frac{
\dfrac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt a}+\sqrt{x-a}
}{
\sqrt{x-a}\sqrt{x+a}
}. В первом слагаемом числителя вынесем x−a\sqrt{x-a}: x−ax+a=x−a x−ax+a.\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt a}
=
\sqrt{x-a}\,
\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt a}. Тогда x−a+x−ax2−a2=x−a(x−ax+a+1)x−ax+a.\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}
=
\frac{
\sqrt{x-a}\left(
\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt a}+1
\right)
}{
\sqrt{x-a}\sqrt{x+a}
}. Сокращаем x−a\sqrt{x-a}: x−a+x−ax2−a2=1+x−ax+ax+a.\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}
=
\frac{
1+\dfrac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x}+\sqrt a}
}{
\sqrt{x+a}
}. При x→a+0x\to a+0 x−a→0,x+a→2a,x+a→2a.\sqrt{x-a}\to0,\quad
\sqrt{x}+\sqrt a\to2\sqrt a,\quad
\sqrt{x+a}\to\sqrt{2a}.

Проверка

lim⁡x→ax−a+x−ax2−a2=12a.\boxed{
\lim_{x\to a}
\frac{\sqrt{x}-\sqrt a+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}}
=
\frac1{\sqrt{2a}}
}.
Демидович № 439 — решение