Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 451

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 451

lim⁡x→0x21+5x5−(1+x).\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}.

Решение

Идея

При x→0x\to0 получаем неопределенность вида 00\dfrac00. Используем формулу разности пятых степеней.
Имеем (1+5x5)5−(1+x)5=(1+5x5−(1+x))\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^5-(1+x)^5 = \left(\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)\right) ⋅[(1+5x5)4+(1+5x5)3(1+x)+(1+5x5)2(1+x)2+1+5x5(1+x)3+(1+x)4].{}\cdot
\left[
\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^4
+\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^3(1+x)
+\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^2(1+x)^2
+\sqrt[5]{1+5x}(1+x)^3
+(1+x)^4
\right]. С другой стороны, (1+5x)−(1+x)5=1+5x−(1+5x+10x2+10x3+5x4+x5)(1+5x)-(1+x)^5 = 1+5x-\left(1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5\right) =−x2(10+10x+5x2+x3).=-x^2(10+10x+5x^2+x^3). Тогда 1+5x5−(1+x)=−x2(10+10x+5x2+x3)(1+5x5)4+(1+5x5)3(1+x)+…+(1+x)4.\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)
=
-\frac{x^2(10+10x+5x^2+x^3)}
{
\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^4
+\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^3(1+x)
+\ldots+(1+x)^4
}. Отсюда x21+5x5−(1+x)=−(1+5x5)4+(1+5x5)3(1+x)+…+(1+x)410+10x+5x2+x3.\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}
=
-\frac{
\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^4
+\left(\sqrt[5]{1+5x}\right)^3(1+x)
+\ldots+(1+x)^4
}
{10+10x+5x^2+x^3}. При x→0x\to0 в числителе имеется пять слагаемых, каждое из которых стремится к 11. Поэтому числитель стремится к 55, а знаменатель – к 1010. Получаем lim⁡x→0x21+5x5−(1+x)=−12.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-(1+x)}
=
-\frac12
}.
Демидович № 451 — решение