Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 466

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 466

lim⁡x→+∞(x−x2−1)n+(x+x2−1)nxn(n — натуральное число).\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Решение

Идея

Так как x→+∞x\to+\infty, разделим каждую скобку в числителе на xx:
=(1−x2−1x)n+(1+x2−1x)n.=
\left(
1-\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
\right)^n
+
\left(
1+\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
\right)^n. При x>0x>0 x2−1x=1−1x2.\frac{\sqrt{x^2-1}}{x} = \sqrt{1-\frac1{x^2}}. Получаем (x−x2−1)n+(x+x2−1)nxn=(1−1−1x2)n+(1+1−1x2)n.\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n +\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}
=
\left(
1-\sqrt{1-\frac1{x^2}}
\right)^n
+
\left(
1+\sqrt{1-\frac1{x^2}}
\right)^n. При x→+∞x\to+\infty 1−1x2→1.\sqrt{1-\frac1{x^2}}\to1. Первое слагаемое стремится к 0n=00^n=0, а второе – к 2n2^n. Получаем lim⁡x→+∞(x−x2−1)n+(x+x2−1)nxn=2n.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^n
+\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^n}{x^n}
=
2^n
}.
Демидович № 466 — решение