Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 467

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 467

lim⁡x→0(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx(n — натуральное число).\lim_{x\to0}\frac{\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n-\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n}{x}\quad(n\text{ — натуральное число}).

Решение

Идея

Используем формулу разности nn-х степеней: an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+…+bn−1).a^n-b^n=(a-b) \left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+b^{n-1}\right). В нашем случае a=1+x2+x,b=1+x2−x,a=\sqrt{1+x^2}+x,\quad b=\sqrt{1+x^2}-x, причем a−b=2x.a-b=2x. Отсюда
(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx=2[(1+x2+x)n−1+(1+x2+x)n−2⋅(1+x2−x)+…+(1+x2−x)n−1].\begin{aligned}
\frac{
\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n
-
\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n
}{x}
&=
2\Bigl[
\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{n-1}
+
\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^{n-2}\\
&\quad\cdot
\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)
+\ldots+
\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^{n-1}
\Bigr].
\end{aligned}

Проверка

При x→0x\to0 1+x2+x→1,1+x2−x→1.\sqrt{1+x^2}+x\to1, \quad \sqrt{1+x^2}-x\to1. В квадратных скобках имеется nn слагаемых, каждое из которых стремится к 11. Поэтому lim⁡x→0(1+x2+x)n−(1+x2−x)nx=2n.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{
\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)^n
-
\left(\sqrt{1+x^2}-x\right)^n
}{x}
=
2n
}.
Демидович № 467 — решение