Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 462

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 462

lim⁡x→+∞(x3+3x23−x2−2x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}\right).

Решение

Идея

Разобьем разность на две части: x3+3x23−x2−2x=(x3+3x23−x)+(x−x2−2x).\sqrt[3]{x^3+3x^2}-\sqrt{x^2-2x}
=
\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x\right)
+
\left(x-\sqrt{x^2-2x}\right).
Для первой разности используем формулу разности кубов: x3+3x23−x=3x2(x3+3x23)2+xx3+3x23+x2.\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x
=
\frac{3x^2}
{
\left(\sqrt[3]{x^3+3x^2}\right)^2
+x\sqrt[3]{x^3+3x^2}
+x^2
}. Разделим числитель и знаменатель на x2x^2: x3+3x23−x=3(1+3x3)2+1+3x3+1→1.\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x
=
\frac{3}
{
\left(\sqrt[3]{1+\frac3x}\right)^2
+\sqrt[3]{1+\frac3x}
+1
}
\to1.Вторую разность рационализируем: x−x2−2x=x2−(x2−2x)x+x2−2x=2xx+x2−2x.x-\sqrt{x^2-2x}
=
\frac{x^2-(x^2-2x)}
{x+\sqrt{x^2-2x}}
=
\frac{2x}{x+\sqrt{x^2-2x}}. Делим числитель и знаменатель на xx: x−x2−2x=21+1−2x→1.x-\sqrt{x^2-2x} = \frac2{1+\sqrt{1-\frac2x}} \to1.

Проверка

lim⁡x→+∞(x3+3x23−x2−2x)=1+1=2.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left(
\sqrt[3]{x^3+3x^2}
-
\sqrt{x^2-2x}
\right)
=
1+1=2
}.
Демидович № 462 — решение