Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 469

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 469

Найти постоянные aa и bb из условия:lim⁡x→∞(x2+1x+1−ax−b)=0.\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b\right)=0.

Решение

Разделим многочлен x2+1x^2+1 на x+1x+1:x2+1=(x+1)(x−1)+2,x^2+1=(x+1)(x-1)+2,поэтомуx2+1x+1=x−1+2x+1.\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac2{x+1}.Тогдаx2+1x+1−ax−b=(1−a)x−(1+b)+2x+1.\frac{x^2+1}{x+1}-ax-b
=
(1-a)x-(1+b)+\frac2{x+1}.
Для того чтобы при x→∞x\to\infty это выражение стремилось к нулю, сначала должен исчезнуть член, содержащий xx, поэтому 1−a=01-a=0, то есть a=1a=1.
После этого остается −(1+b)+2x+1-(1+b)+\frac2{x+1}. Так как 2x+1→0\frac2{x+1}\to0, необходимо, чтобы 1+b=01+b=0, то есть b=−1b=-1.

Действительно, при a=1a=1, b=−1b=-1 получаемx2+1x+1−x+1=2x+1→0.\frac{x^2+1}{x+1}-x+1=\frac2{x+1}\to0.

Проверка

a=1,b=−1.a=1,\quad b=-1.