Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 475

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 475

lim⁡x→0tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}.

Опирается на задачу 474

Решение

Идея

Преобразуем числитель: tg⁡x−sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡x.\operatorname{tg}x-\sin x = \frac{\sin x}{\cos x}-\sin x. Приведем к общему знаменателю: sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=sin⁡x−sin⁡xcos⁡xcos⁡x=sin⁡x(1−cos⁡x)cos⁡x.\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x
=
\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x}
=
\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}. Отсюда tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x=sin⁡x(1−cos⁡x)cos⁡x sin⁡3x=1−cos⁡xcos⁡x sin⁡2x.\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}
=
\frac{\sin x(1-\cos x)}
{\cos x\,\sin^3x}
=
\frac{1-\cos x}{\cos x\,\sin^2x}.
Теперь поделим числитель и знаменатель на x2x^2: 1−cos⁡xcos⁡x sin⁡2x=1−cos⁡xx2cos⁡x(sin⁡xx)2.\frac{1-\cos x}{\cos x\,\sin^2x}
=
\frac{\dfrac{1-\cos x}{x^2}}
{\cos x\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2}. Из задачи 474а 1−cos⁡xx2→12,\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12, а по первому замечательному пределу sin⁡xx→1.\frac{\sin x}{x}\to1. Кроме того, cos⁡x→1.\cos x\to1.

Проверка

lim⁡x→0tg⁡x−sin⁡xsin⁡3x=121⋅12=12.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\operatorname{tg}x-\sin x}{\sin^3x}
=
\frac{\frac12}{1\cdot1^2}
=
\frac12
}.
Демидович № 475 — решение