Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 463

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 463

lim⁡x→∞x13[(x+1)23−(x−1)23].\lim_{x\to\infty}x^{\frac13}\left[(x+1)^{\frac23}-(x-1)^{\frac23}\right].

Решение

Идея

Запишем (x+1)2/3−(x−1)2/3=(x+13−x−13)(x+13+x−13).(x+1)^{2/3}-(x-1)^{2/3}
=
\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\right)
\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}\right). Для разности кубических корней имеем x+13−x−13=2(x+13)2+(x+1)(x−1)3+(x−13)2.\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}
=
\frac{2}
{
\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2
+\sqrt[3]{(x+1)(x-1)}
+\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^2
}. Отсюда x1/3[(x+1)2/3−(x−1)2/3]x^{1/3}\left[(x+1)^{2/3}-(x-1)^{2/3}\right] =2x1/3(x+13+x−13)(x+13)2+x2−13+(x−13)2.=
\frac{
2x^{1/3}\left(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}\right)
}{
\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2
+\sqrt[3]{x^2-1}
+\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^2
}.
Вынесем x1/3x^{1/3} из кубических корней: x+13=x1/31+1x3,x−13=x1/31−1x3.\sqrt[3]{x+1}=x^{1/3}\sqrt[3]{1+\frac1x},
\quad
\sqrt[3]{x-1}=x^{1/3}\sqrt[3]{1-\frac1x}. После сокращения общего множителя x2/3x^{2/3} получаем 2(1+1x3+1−1x3)(1+1x3)2+1−1x23+(1−1x3)2.\frac{
2\left(
\sqrt[3]{1+\frac1x}
+\sqrt[3]{1-\frac1x}
\right)
}{
\left(\sqrt[3]{1+\frac1x}\right)^2
+\sqrt[3]{1-\frac1{x^2}}
+\left(\sqrt[3]{1-\frac1x}\right)^2
}. При x→∞x\to\infty все корни в этом выражении стремятся к 11. Поэтому lim⁡x→∞x1/3[(x+1)2/3−(x−1)2/3]=2(1+1)1+1+1=43.\boxed{
\lim_{x\to\infty}
x^{1/3}\left[(x+1)^{2/3}-(x-1)^{2/3}\right]
=
\frac{2(1+1)}{1+1+1}
=
\frac43
}.
Демидович № 463 — решение