Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 474

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти пределы:

Задача 474

а) lim⁡x→01−cos⁡xx2;б) lim⁡x→0tg⁡xx;в) lim⁡x→0xctg⁡3x.\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2};\quad
\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x};\quad
\text{в) }\lim_{x\to0}x\operatorname{ctg}3x.
Ответ:а) 12\dfrac12; б) 11; в) 13\dfrac13.

Решение

Пункт а)

Рассмотримlim⁡x→01−cos⁡xx2.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.Используем формулу1−cos⁡x=2sin⁡2x2.1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.Тогда1−cos⁡xx2=2sin⁡2x2x2.\frac{1-\cos x}{x^2}
=
\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}.Чтобы получить первый замечательный предел, представим x2x^2 через (x2)2\left(\frac{x}{2}\right)^2:x2=4(x2)2.x^2=4\left(\frac{x}{2}\right)^2.Тогда2sin⁡2x2x2=12sin⁡2x2(x2)2=12(sin⁡x2x2)2.\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}
=
\frac12
\frac{\sin^2\frac{x}{2}}
{\left(\frac{x}{2}\right)^2}
=
\frac12
\left(
\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}
\right)^2.При x→0x\to0 имеем x2→0\dfrac{x}{2}\to0, поэтомуsin⁡x2x2→1.\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\to1.lim⁡x→01−cos⁡xx2=12.\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}
=
\frac12
.

Пункт б)

Используем определение тангенса:tg⁡x=sin⁡xcos⁡x.\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.Тогдаtg⁡xx=sin⁡xxcos⁡x=sin⁡xx⋅1cos⁡x.\frac{\operatorname{tg}x}{x}
=
\frac{\sin x}{x\cos x}
=
\frac{\sin x}{x}\cdot\frac1{\cos x}.При x→0x\to0 по первому замечательному пределуsin⁡xx→1,\frac{\sin x}{x}\to1,аcos⁡x→1.\cos x\to1.lim⁡x→0tg⁡xx=1.\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}
=
1
.

Пункт в)

Используем определение котангенса:ctg⁡3x=cos⁡3xsin⁡3x.\operatorname{ctg}3x=\frac{\cos3x}{\sin3x}.Тогдаxctg⁡3x=xcos⁡3xsin⁡3x.x\operatorname{ctg}3x
=
\frac{x\cos3x}{\sin3x}.Чтобы получить выражение sin⁡3x3x\dfrac{\sin3x}{3x}, умножим числитель на 33 и одновременно разделим на 33:xcos⁡3xsin⁡3x=133xcos⁡3xsin⁡3x=13cos⁡3xsin⁡3x3x.\frac{x\cos3x}{\sin3x}
=
\frac13\frac{3x\cos3x}{\sin3x}
=
\frac13
\frac{\cos3x}{\dfrac{\sin3x}{3x}}.При x→0x\to0 имеемcos⁡3x→1,sin⁡3x3x→1.\cos3x\to1,
\quad
\frac{\sin3x}{3x}\to1.lim⁡x→0xctg⁡3x=13.\lim_{x\to0}x\operatorname{ctg}3x
=
\frac13
.