Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 474

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 474

\text{а) }\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2};\quad\text{б) }\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x};\quad\text{в) }\lim_{x\to0}x\operatorname{ctg}3x.

Решение

1
a)
2
Рассмотрим $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}.$ Используем формулу $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}.$ Тогда $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}.$ Чтобы получить первый замечательный предел, представим $x^2$ через $\left(\frac{x}{2}\right)^2$ : $x^2=4\left(\frac{x}{2}\right)^2.$ Тогда $\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac12\frac{\sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right)^2}=\frac12\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2.$ При $x\to0$ имеем $\dfrac{x}{2}\to0$ , поэтому $\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\to1.$ $\boxed{\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12}.$
3
Пункт б)
Используем определение тангенса: $\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}.$ Тогда $\frac{\operatorname{tg}x}{x}=\frac{\sin x}{x\cos x}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac1{\cos x}.$ При $x\to0$ по первому замечательному пределу $\frac{\sin x}{x}\to1,$ а $\cos x\to1.$ $\boxed{\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x}{x}=1}.$
4
Пункт в)
Используем определение котангенса: $\operatorname{ctg}3x=\frac{\cos3x}{\sin3x}.$ Тогда $x\operatorname{ctg}3x=\frac{x\cos3x}{\sin3x}.$ Чтобы получить выражение $\dfrac{\sin3x}{3x}$ , умножим числитель на $3$ и одновременно разделим на $3$ : $\frac{x\cos3x}{\sin3x}=\frac13\frac{3x\cos3x}{\sin3x}=\frac13\frac{\cos3x}{\dfrac{\sin3x}{3x}}.$ При $x\to0$ имеем $\cos3x\to1,\quad\frac{\sin3x}{3x}\to1.$

Проверка

\boxed{\lim_{x\to0}x\operatorname{ctg}3x=\frac13}.