Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 437

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}.

Решение

Идея

При

x\to4

числитель и знаменатель стремятся к нулю. Избавимся от иррациональности, умножая на сопряженные выражения.

Для числителя имеем

\sqrt{1+2x}-3=\frac{1+2x-9}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{2(x-4)}{\sqrt{1+2x}+3}.

А для знаменателя

\sqrt{x}-2 = \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}.

При

x\neq4

\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(x-4)}{\sqrt{1+2x}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}=\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}.

Теперь можно перейти к пределу:

\lim_{x\to4}\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{2(2+2)}{3+3}=\frac43.

Проверка

\boxed{\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac43}.