Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 437

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 437

lim⁡x→41+2x−3x−2.\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}.

Решение

При x→4x\to4 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Избавимся от иррациональности, умножая на сопряженные выражения.
Для числителя имеем 1+2x−3=1+2x−91+2x+3=2(x−4)1+2x+3.\sqrt{1+2x}-3
=
\frac{1+2x-9}{\sqrt{1+2x}+3}
=
\frac{2(x-4)}{\sqrt{1+2x}+3}. А для знаменателя x−2=x−4x+2.\sqrt{x}-2 = \frac{x-4}{\sqrt{x}+2}. При x≠4x\neq4 1+2x−3x−2=2(x−4)1+2x+3⋅x+2x−4=2(x+2)1+2x+3.\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}
=
\frac{2(x-4)}{\sqrt{1+2x}+3}
\cdot
\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}
=
\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}. Теперь можно перейти к пределу: lim⁡x→42(x+2)1+2x+3=2(2+2)3+3=43.\lim_{x\to4}
\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}
=
\frac{2(2+2)}{3+3}
=
\frac43.

Проверка

lim⁡x→41+2x−3x−2=43.\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}
=
\frac43
.