Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 472

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 472

lim⁡x→∞sin⁡xx.\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}.

Решение

Идея

Известно, что для любого xx ∣sin⁡x∣≤1.|\sin x|\leq1. Тогда
∣sin⁡xx∣=∣sin⁡x∣∣x∣≤1∣x∣.\left|\frac{\sin x}{x}\right|
=
\frac{|\sin x|}{|x|}
\leq
\frac1{|x|}. При x→∞x\to\infty имеем 1∣x∣→0.\frac1{|x|}\to0. По теореме о зажатой функции ∣sin⁡xx∣→0,\left|\frac{\sin x}{x}\right|\to0, а значит, lim⁡x→∞sin⁡xx=0.\boxed{
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0
}.
Демидович № 472 — решение