Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 476

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 476

lim⁡x→0sin⁡5x−sin⁡3xsin⁡x.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x-\sin3x}{\sin x}.

Решение

Идея

Используем формулу sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2.\sin\alpha-\sin\beta
=
2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. При α=5x\alpha=5x, β=3x\beta=3x получаем sin⁡5x−sin⁡3x=2cos⁡4xsin⁡x.\sin5x-\sin3x = 2\cos4x\sin x.
lim⁡x→0sin⁡5x−sin⁡3xsin⁡x=2.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sin5x-\sin3x}{\sin x}
=
2
}.

Проверка

Следовательно: sin⁡5x−sin⁡3xsin⁡x=2cos⁡4xsin⁡xsin⁡x=2cos⁡4x.\frac{\sin5x-\sin3x}{\sin x} = \frac{2\cos4x\sin x}{\sin x} = 2\cos4x. При x→0x\to0 cos⁡4x→1.\cos4x\to1.
Демидович № 476 — решение