Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 477

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 477

lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2.\lim_{x\to0}\frac{\cos x-\cos3x}{x^2}.

Решение

Используем формулу cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2.\cos\alpha-\cos\beta
=
-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}
\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. При α=x\alpha=x, β=3x\beta=3x получаем cos⁡x−cos⁡3x=−2sin⁡2xsin⁡(−x).\cos x-\cos3x = -2\sin2x\sin(-x). Так как sin⁡(−x)=−sin⁡x,\sin(-x)=-\sin x, то cos⁡x−cos⁡3x=2sin⁡2xsin⁡x.\cos x-\cos3x = 2\sin2x\sin x. Отсюда cos⁡x−cos⁡3xx2=2sin⁡2xsin⁡xx2.\frac{\cos x-\cos3x}{x^2} = 2\frac{\sin2x\sin x}{x^2}. Преобразуем выражение так, чтобы появились первые замечательные пределы: 2sin⁡2xsin⁡xx2=4sin⁡2x2xsin⁡xx.2\frac{\sin2x\sin x}{x^2}
=
4
\frac{\sin2x}{2x}
\frac{\sin x}{x}. При x→0x\to0 sin⁡2x2x→1,sin⁡xx→1.\frac{\sin2x}{2x}\to1, \quad \frac{\sin x}{x}\to1.
lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2=4.\lim_{x\to0}
\frac{\cos x-\cos3x}{x^2}
=
4
.