Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 453

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 453

lim⁡x→01+αxm1+βxn−1x(m и n — целые числа).\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Решение

Идея

Считаем m,n∈Zm,n\in\mathbb Z, m≠0m\neq0, n≠0n\neq0. При достаточно малых ∣x∣|x| числа 1+αx1+\alpha x и 1+βx1+\beta x положительны.
Воспользуемся равенством ab−1=(a−1)+(b−1)+(a−1)(b−1).ab-1=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1). Тогда 1+αxm1+βxn−1=(1+αxm−1)+(1+βxn−1)+(1+αxm−1)(1+βxn−1).\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1
=
\left(\sqrt[m]{1+\alpha x}-1\right)
+
\left(\sqrt[n]{1+\beta x}-1\right)
+
\left(\sqrt[m]{1+\alpha x}-1\right)
\left(\sqrt[n]{1+\beta x}-1\right). После деления на xx получаем 1+αxm1+βxn−1x=1+αxm−1x+1+βxn−1x+x 1+αxm−1x1+βxn−1x.\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
=
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
+
\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
+
x\,
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}.Ранее было доказано, что lim⁡t→01+tk−1t=1k(k∈Z, k≠0).\lim_{t\to0}\frac{\sqrt[k]{1+t}-1}{t}=\frac1k
\quad(k\in\mathbb Z,\ k\neq0). При α≠0\alpha\neq0 1+αxm−1x=α 1+αxm−1αx→αm.\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
=
\alpha\,
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{\alpha x}
\to\frac{\alpha}{m}. При α=0\alpha=0 эта дробь тождественно равна нулю, поэтому тот же результат сохраняется. Аналогично, 1+βxn−1x→βn.\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}\to\frac{\beta}{n}.

Отсюда x 1+αxm−1x1+βxn−1x→0⋅αm⋅βn=0.x\,
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
\to
0\cdot\frac{\alpha}{m}\cdot\frac{\beta}{n}=0.

Проверка

lim⁡x→01+αxm1+βxn−1x=αm+βn.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}
=
\frac{\alpha}{m}+\frac{\beta}{n}
}.
Демидович № 453 — решение