Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 461

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 461

lim⁡x→∞(x3+x2+13−x3−x2+13).\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right).

Решение

Используем формулу разности кубов: a−b=a3−b3a2+ab+b2.a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. Тогда x3+x2+13−x3−x2+13\sqrt[3]{x^3+x^2+1}-\sqrt[3]{x^3-x^2+1} =2x2(x3+x2+13)2+(x3+x2+1)(x3−x2+1)3+(x3−x2+13)2.=
\frac{2x^2}
{
\left(\sqrt[3]{x^3+x^2+1}\right)^2
+
\sqrt[3]{(x^3+x^2+1)(x^3-x^2+1)}
+
\left(\sqrt[3]{x^3-x^2+1}\right)^2
}. Разделим числитель и знаменатель на x2x^2. Имеем x3+x2+13x=1+1x+1x33,\frac{\sqrt[3]{x^3+x^2+1}}{x}
=
\sqrt[3]{1+\frac1x+\frac1{x^3}}, x3−x2+13x=1−1x+1x33.\frac{\sqrt[3]{x^3-x^2+1}}{x}
=
\sqrt[3]{1-\frac1x+\frac1{x^3}}. Обе эти величины стремятся к 11 при x→∞x\to\infty. Поэтому после деления на x2x^2 три слагаемых в знаменателе стремятся к 11.
lim⁡x→∞(x3+x2+13−x3−x2+13)=21+1+1=23.\lim_{x\to\infty}
\left(
\sqrt[3]{x^3+x^2+1}
-
\sqrt[3]{x^3-x^2+1}
\right)
=
\frac{2}{1+1+1}
=
\frac23
.