Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 443

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 443

lim⁡x→89+2x−5x3−2.\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}.

Решение

Идея

При x→8x\to8 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Сначала домножим и поделим на сопряженное числитель: 9+2x−5=9+2x−259+2x+5=2(x−8)9+2x+5.\sqrt{9+2x}-5
=
\frac{9+2x-25}{\sqrt{9+2x}+5}
=
\frac{2(x-8)}{\sqrt{9+2x}+5}. Отсюда 9+2x−5x3−2=2(x−8)(9+2x+5)(x3−2).\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}
=
\frac{2(x-8)}
{(\sqrt{9+2x}+5)(\sqrt[3]{x}-2)}.
Используем формулу разности кубов: x−8=(x3)3−23=(x3−2)(x2/3+2x3+4).x-8
=
(\sqrt[3]{x})^3-2^3
=
(\sqrt[3]{x}-2)
\left(x^{2/3}+2\sqrt[3]{x}+4\right). Сокращая x3−2\sqrt[3]{x}-2, получаем 9+2x−5x3−2=2(x2/3+2x3+4)9+2x+5.\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}
=
\frac{
2\left(x^{2/3}+2\sqrt[3]{x}+4\right)
}{
\sqrt{9+2x}+5
}. При переходе к пределу имеем 2(4+4+4)5+5=2410=125.\frac{2(4+4+4)}{5+5}
=
\frac{24}{10}
=
\frac{12}{5}.

Проверка

lim⁡x→89+2x−5x3−2=125.\boxed{
\lim_{x\to8}
\frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x}-2}
=
\frac{12}{5}
}.
Демидович № 443 — решение