Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 436

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 436

lim⁡x→+∞x+x3+x42x+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}.

Решение

Проверка

Рассмотрим предел lim⁡x→+∞x+x3+x42x+1.\lim_{x\to+\infty}
\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}. Вынесем x\sqrt{x} в числителе: x+x3+x4=x(1+x3x+x4x).\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}
=
\sqrt{x}\left(
1+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}
\right). Так как x3x=x−16=1x6,x4x=x−14=1x4,\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}}=x^{-\frac16}=\frac1{\sqrt[6]{x}},
\quad
\frac{\sqrt[4]{x}}{\sqrt{x}}=x^{-\frac14}=\frac1{\sqrt[4]{x}}, то x+x3+x4=x(1+1x6+1x4).\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}
=
\sqrt{x}\left(
1+\frac1{\sqrt[6]{x}}+\frac1{\sqrt[4]{x}}
\right). В знаменателе 2x+1=x2+1x.\sqrt{2x+1} = \sqrt{x}\sqrt{2+\frac1x}. Тогда x+x3+x42x+1=1+1x6+1x42+1x.\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}
=
\frac{
1+\dfrac1{\sqrt[6]{x}}+\dfrac1{\sqrt[4]{x}}
}{
\sqrt{2+\dfrac1x}
}. При x→+∞x\to+\infty все дроби, содержащие положительные степени xx в знаменателе, стремятся к нулю. Следовательно, lim⁡x→+∞x+x3+x42x+1=12.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}
=
\frac1{\sqrt2}
}.
Демидович № 436 — решение