Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 432

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^3}-\frac n4\right).

Решение

Идея

Используем формулу суммы кубов:

1^3+2^3+\ldots+n^3 = \left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.

Тогда

\frac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^3}-\frac n4=\frac{n^2(n+1)^2}{4n^3}-\frac n4=\frac{(n+1)^2}{4n}-\frac n4.

Раскроем квадрат:

\frac{n^2+2n+1}{4n}-\frac n4=\frac n4+\frac12+\frac1{4n}-\frac n4=\frac12+\frac1{4n}.

Так как

\dfrac1{4n}\to0

, получаем

\boxed{\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^3+2^3+\ldots+n^3}{n^3}-\frac n4\right)=\frac12}.