Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 450

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 450

lim⁡x→01+x33−1+x441−1−x2.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-\sqrt[4]{1+\frac x4}}{1-\sqrt{1-\frac x2}}.

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на xx: 1+x33−1+x441−1−x2=1+x33−1x−1+x44−1x1−1−x2x.\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-\sqrt[4]{1+\frac x4}}
{1-\sqrt{1-\frac x2}}
=
\frac{
\dfrac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-1}{x}
-
\dfrac{\sqrt[4]{1+\frac x4}-1}{x}
}{
\dfrac{1-\sqrt{1-\frac x2}}{x}
}.
Используем уже доказанный предел (задача 444) lim⁡t→01+tk−1t=1k.\lim_{t\to0}\frac{\sqrt[k]{1+t}-1}{t}=\frac1k. Для первого слагаемого имеем 1+x33−1x=131+x33−1x/3→13⋅13=19.\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-1}{x}
=
\frac13
\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-1}{x/3}
\to
\frac13\cdot\frac13=\frac19. Аналогично, 1+x44−1x=141+x44−1x/4→14⋅14=116.\frac{\sqrt[4]{1+\frac x4}-1}{x}
=
\frac14
\frac{\sqrt[4]{1+\frac x4}-1}{x/4}
\to
\frac14\cdot\frac14=\frac1{16}.
Преобразуем знаменатель: 1−1−x2x=x2x(1+1−x2)=12(1+1−x2)→14.\frac{1-\sqrt{1-\frac x2}}{x}
=
\frac{\frac x2}
{x\left(1+\sqrt{1-\frac x2}\right)}
=
\frac1{2\left(1+\sqrt{1-\frac x2}\right)}
\to\frac14.

Проверка

lim⁡x→01+x33−1+x441−1−x2=19−11614=736.\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt[3]{1+\frac x3}-\sqrt[4]{1+\frac x4}}
{1-\sqrt{1-\frac x2}}
=
\frac{\frac19-\frac1{16}}{\frac14}
=
\frac{7}{36}
.