Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 456

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 456

lim⁡x→1(1−x)(1−x3)⋯(1−xn)(1−x)n−1.\lim_{x\to1}\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}}.

Решение

Представим исходную дробь как произведение: (1−x)(1−x3)⋯(1−xn)(1−x)n−1\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})} {(1-x)^{n-1}} =1−x1−x⋅1−x31−x⋯1−xn1−x.=
\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}
\cdot
\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}
\cdots
\frac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}. Для любого целого k≥2k\geq2 1−xk1−x=xk−1x−1.\frac{1-\sqrt[k]{x}}{1-x} = \frac{\sqrt[k]{x}-1}{x-1}. По уже доказанному пределу (Задача 444) lim⁡x→1xk−1x−1=1k.\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[k]{x}-1}{x-1}=\frac1k.
1−x1−x→12,1−x31−x→13,…,1−xn1−x→1n.\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}\to\frac12,\quad
\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1-x}\to\frac13,\quad\ldots,\quad
\frac{1-\sqrt[n]{x}}{1-x}\to\frac1n. Так как множителей конечное число, lim⁡x→1(1−x)(1−x3)⋯(1−xn)(1−x)n−1=12⋅3⋯n=1n!.\lim_{x\to1}
\frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})}
{(1-x)^{n-1}}
=
\frac1{2\cdot3\cdots n}
=
\frac1{n!}
.