Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 479

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 479

lim⁡x→π4tg⁡2x tg⁡(π4−x).\lim_{x\to\frac\pi4}\operatorname{tg}2x\,\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right).

Решение

Идея

Рассмотрим tg⁡2x tg⁡(π4−x).\operatorname{tg}2x\, \operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right). Заметим, что 2x=π2−2(π4−x).2x = \frac\pi2-2\left(\frac\pi4-x\right). По формуле tg⁡(π2−u)=ctg⁡u\operatorname{tg}\left(\frac\pi2-u\right)=\operatorname{ctg}u откуда tg⁡2x=ctg⁡(2(π4−x)).\operatorname{tg}2x
=
\operatorname{ctg}\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right). Тогда tg⁡2x tg⁡(π4−x)\operatorname{tg}2x\, \operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right) =ctg⁡(2(π4−x))tg⁡(π4−x).=
\operatorname{ctg}\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right). Запишем через синус и косинус: =cos⁡(2(π4−x))sin⁡(2(π4−x))⋅sin⁡(π4−x)cos⁡(π4−x).=
\frac{
\cos\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)
}{
\sin\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)
}
\cdot
\frac{
\sin\left(\frac\pi4-x\right)
}{
\cos\left(\frac\pi4-x\right)
}. Используем формулу sin⁡2u=2sin⁡ucos⁡u.\sin2u=2\sin u\cos u. Тогда sin⁡(2(π4−x))=2sin⁡(π4−x)cos⁡(π4−x).\sin\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)
=
2\sin\left(\frac\pi4-x\right)
\cos\left(\frac\pi4-x\right). После сокращения получаем cos⁡(2(π4−x))2cos⁡2(π4−x).\frac{
\cos\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)
}{
2\cos^2\left(\frac\pi4-x\right)
}. При x→π4x\to\dfrac\pi4 π4−x→0.\frac\pi4-x\to0.
cos⁡(2(π4−x))→1,cos⁡(π4−x)→1.\cos\left(2\left(\frac\pi4-x\right)\right)\to1,
\quad
\cos\left(\frac\pi4-x\right)\to1.

Проверка

lim⁡x→π4tg⁡2x tg⁡(π4−x)=12.\boxed{
\lim_{x\to\frac\pi4}
\operatorname{tg}2x\,
\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right)
=
\frac12
}.
Демидович № 479 — решение