Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 479

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 479

lim⁡x→π4tg⁡2x tg⁡(π4−x).\lim_{x\to\frac\pi4}\operatorname{tg}2x\,\operatorname{tg}\left(\frac\pi4-x\right).

Решение

Введём короткое обозначение u=π/4−xu=\pi/4-x. Тогда u→0u\to0, а 2x=π/2−2u2x=\pi/2-2u. По формуле приведения
tg⁡2x=ctg⁡2u.\operatorname{tg}2x=\operatorname{ctg}2u.Перепишем произведение через синус и косинус и используем sin⁡2u=2sin⁡ucos⁡u\sin2u=2\sin u\cos u:ctg⁡2u tg⁡u=cos⁡2usin⁡2usin⁡ucos⁡u=cos⁡2u2cos⁡2u.\operatorname{ctg}2u\,\operatorname{tg}u
=\frac{\cos2u}{\sin2u}\frac{\sin u}{\cos u}
=\frac{\cos2u}{2\cos^2u}.В достаточно малой проколотой окрестности u=0u=0 сокращаемый множитель sin⁡u\sin u отличен от нуля, а cos⁡u≠0\cos u\ne0. При u→0u\to0 косинусы стремятся к 11, поэтомуlim⁡x→π/4tg⁡2x tg⁡(π/4−x)=12⋅12=12.\lim_{x\to\pi/4}\operatorname{tg}2x\,\operatorname{tg}(\pi/4-x)=\frac1{2\cdot1^2}=\frac12.