Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 455

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 455

1. lim⁡x→1xm−1xn−1(m и n — целые числа).\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).2. lim⁡x→1(31−x−31−x3).\lim_{x\to1}\left(\frac3{1-\sqrt{x}}-\frac3{1-\sqrt[3]{x}}\right).

Решение

Идея

Считаем m,n∈Zm,n\in\mathbb Z, m≠0m\neq0, n≠0n\neq0. При x≠1x\neq1 запишем xm−1xn−1=xm−1x−1xn−1x−1.\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}
=
\frac{\dfrac{\sqrt[m]{x}-1}{x-1}}
{\dfrac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1}}. Так как x=1+(x−1)x=1+(x-1) и x−1→0x-1\to0, по уже доказанному пределу (Задача 444) xm−1x−1→1m,xn−1x−1→1n.\frac{\sqrt[m]{x}-1}{x-1}\to\frac1m,
\quad
\frac{\sqrt[n]{x}-1}{x-1}\to\frac1n. Поскольку 1n≠0\dfrac1n\neq0, по теореме о пределе отношения получаем lim⁡x→1xm−1xn−1=1/m1/n=nm.\boxed{
\lim_{x\to1}
\frac{\sqrt[m]{x}-1}{\sqrt[n]{x}-1}
=
\frac{1/m}{1/n}
=
\frac{n}{m}
}.

Проверка

Преобразуем каждую дробь: 1−x=1−x1+x,1-\sqrt{x}=\frac{1-x}{1+\sqrt{x}}, поэтому 31−x=3(1+x)1−x.\frac3{1-\sqrt{x}} = \frac{3(1+\sqrt{x})}{1-x}. Аналогично, используя формулу разности кубов, 1−x3=1−x1+x3+x23,1-\sqrt[3]{x} = \frac{1-x} {1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}}, следовательно, 31−x3=3(1+x3+x23)1−x.\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
=
\frac{3\left(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\right)}{1-x}. Вычитаем: 31−x−31−x3=3(x−x3−x23)1−x.\frac3{1-\sqrt{x}}
-
\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
=
\frac{
3\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x^2}\right)
}{1-x}. Или, умножив числитель и знаменатель на −1-1, 31−x−31−x3=3(x3+x23−x)x−1.\frac3{1-\sqrt{x}}
-
\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
=
\frac{
3\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}\right)
}{x-1}. При x→1x\to1 числитель стремится к 3(1+1−1)=3>0,3(1+1-1)=3>0, а знаменатель стремится к нулю, меняя знак. Поэтому lim⁡x→1−0(31−x−31−x3)=−∞,\lim_{x\to1-0}
\left(
\frac3{1-\sqrt{x}}
-
\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
\right)
=-\infty, а lim⁡x→1+0(31−x−31−x3)=+∞.\lim_{x\to1+0}
\left(
\frac3{1-\sqrt{x}}
-
\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
\right)
=+\infty. Модуль выражения стремится к +∞+\infty lim⁡x→1(31−x−31−x3)=∞.\boxed{
\lim_{x\to1}
\left(
\frac3{1-\sqrt{x}}
-
\frac3{1-\sqrt[3]{x}}
\right)
=\infty
}.
Демидович № 455 — решение