Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 452

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 452

lim⁡x→01+αxm−1+βxnx(m и n — целые числа).\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}\quad(m\text{ и }n\text{ — целые числа}).

Решение

Считаем m≠0m\neq0, n≠0n\neq0, поскольку корень нулевой степени не определен.
Преобразуем выражение: 1+αxm−1+βxnx=1+αxm−1x−1+βxn−1x.\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}
=
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
-
\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}. Если α=0\alpha=0, первое слагаемое тождественно равно нулю. При α≠0\alpha\ne0 его можно записать в виде 1+αxm−1x=α 1+αxm−1αx.\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}
=
\alpha\,
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{\alpha x}. По уже доказанному пределу lim⁡t→01+tm−1t=1m,\lim_{t\to0}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac1m, поэтому 1+αxm−1x→αm.\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-1}{x}\to\frac{\alpha}{m}. Аналогично, 1+βxn−1x→βn.\frac{\sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x}\to\frac{\beta}{n}. При β=0\beta=0 второе слагаемое равно нулю; при β≠0\beta\ne0 выполняется такая же замена t=βxt=\beta x. Поэтому итоговая формула верна и при нулевых параметрах.

Проверка

lim⁡x→01+αxm−1+βxnx=αm−βn.\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt[m]{1+\alpha x}-\sqrt[n]{1+\beta x}}{x}
=
\frac{\alpha}{m}-\frac{\beta}{n}
.