Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 468

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 468

Изучить поведение корней x1x_1 и x2x_2 квадратного уравненияax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0,у которого коэффициент aa стремится к нулю, а коэффициенты bb и cc постоянны, причем b≠0b\ne0.

Решение

Идея

Корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 при a≠0a\neq0 определяются формулой x1,2=−b±b2−4ac2a.x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. Поскольку a→0a\to0, а b≠0b\neq0, имеем b2−4ac→b2>0,b^2-4ac\to b^2>0, поэтому при достаточно малых ∣a∣|a| оба корня вещественны.
  1. 1
    Рассмотрим тот корень, в числителе которого при a→0a\to0 происходит сокращение величин −b-b и b2−4ac\sqrt{b^2-4ac}. Если b>0b>0, это корень x1=−b+b2−4ac2a,x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, а если b<0b<0, необходимо выбрать знак ``−-'' перед корнем.

    Рационализируя соответствующий числитель, в обоих случаях получаем корень, стремящийся к −cb.-\frac cb. Например, при b>0b>0 x1=−b+b2−4ac2a⋅−b−b2−4ac−b−b2−4acx_1
    =
    \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
    \cdot
    \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}
    {-b-\sqrt{b^2-4ac}}     =b2−(b2−4ac)2a(−b−b2−4ac)=−2cb+b2−4ac.=
    \frac{b^2-(b^2-4ac)}
    {2a\left(-b-\sqrt{b^2-4ac}\right)}
    =
    -\frac{2c}{b+\sqrt{b^2-4ac}}.     При a→0a\to0 b2−4ac→∣b∣=b,\sqrt{b^2-4ac}\to|b|=b, следовательно, x1→−2c2b=−cb.x_1\to-\frac{2c}{2b}=-\frac cb. При b<0b<0 аналогичное преобразование дает тот же предел.
  2. 2
    Для второго корня воспользуемся формулой Виета: x1+x2=−ba.x_1+x_2=-\frac ba. Так как x1→−cbx_1\to-\dfrac cb – конечное число, то x2=−ba−x1∼−ba.x_2=-\frac ba-x_1\sim-\frac ba. Отсюда ∣x2∣→+∞.|x_2|\to+\infty.
  3. 3
    Итак, при a→0a\to0 один корень стремится к корню предельного линейного уравнения bx+c=0,x1→−cb,bx+c=0,
    \quad
    \boxed{x_1\to-\frac cb},     а второй корень уходит в бесконечность: x2∼−ba,∣x2∣→+∞.\boxed{x_2\sim-\frac ba,\quad |x_2|\to+\infty}.

Проверка

При a→0+a\to0+ знак бесконечного корня противоположен знаку bb, а при a→0−a\to0- совпадает со знаком bb.
Демидович № 468 — решение