Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 468

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 468

Изучить поведение корней x1x_1 и x2x_2 квадратного уравненияax2+bx+c=0,ax^2+bx+c=0,у которого коэффициент aa стремится к нулю, а коэффициенты bb и cc постоянны, причем b≠0b\ne0.

Решение

При a≠0a\ne0 корни равныx=−b±b2−4ac2a.x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.Поскольку b≠0b\ne0, дискриминант стремится к положительному числу b2b^2. Значит, при достаточно малом ∣a∣|a| оба корня вещественны.
Обозначим через ss знак числа bb: s=1s=1 при b>0b>0 и s=−1s=-1 при b<0b<0. Тогда s∣b∣=bs|b|=b. Выберем кореньx1=−b+sb2−4ac2a.x_1=\frac{-b+s\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.Именно у него числитель стремится к −b+s∣b∣=0-b+s|b|=0. Умножаем числитель и знаменатель на −b−sb2−4ac-b-s\sqrt{b^2-4ac}:x1=b2−(b2−4ac)2a(−b−sb2−4ac)=−2cb+sb2−4ac.x_1=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{2a(-b-s\sqrt{b^2-4ac})}
=-\frac{2c}{b+s\sqrt{b^2-4ac}}.Последний знаменатель стремится к b+s∣b∣=2b≠0b+s|b|=2b\ne0, поэтомуx1⟶−2c2b=−cb.x_1\longrightarrow-\frac{2c}{2b}=-\frac cb.Так мы одним вычислением охватили оба знака bb, в том числе случай c=0c=0.

По формуле Виета x1+x2=−b/ax_1+x_2=-b/a. Следовательно,x2=−ba−x1,x2−b/a=1+ax1b⟶1,x_2=-\frac ba-x_1,\qquad
\frac{x_2}{-b/a}=1+\frac{ax_1}{b}\longrightarrow1,так как x1x_1 имеет конечный предел, а a→0a\to0. Значит, ∣x2∣→+∞|x_2|\to+\infty. При a→0+a\to0+ знак x2x_2 противоположен знаку bb; при a→0−a\to0- совпадает с ним.

Ответ

один корень стремится к −c/b-c/b; модуль второго неограниченно растёт, причём отношение второго корня к −b/a-b/a стремится к 11.