Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 447

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 447

lim⁡x→027+x3−27−x3x+2x43.\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}{x+2\sqrt[3]{x^4}}.

Решение

Идея

При x→0x\to0 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для разности кубических корней используем формулу a−b=a3−b3a2+ab+b2.a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}. Отсюда 27+x3−27−x3=2x(27+x3)2+(27+x)(27−x)3+(27−x3)2.\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}
=
\frac{2x}
{\left(\sqrt[3]{27+x}\right)^2
+\sqrt[3]{(27+x)(27-x)}
+\left(\sqrt[3]{27-x}\right)^2}.
Кроме того, x43=xx3,\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}, поскольку (xx3)3=x4.\left(x\sqrt[3]{x}\right)^3=x^4. Отсюда x+2x43=x(1+2x3).x+2\sqrt[3]{x^4}=x(1+2\sqrt[3]{x}). При x≠0x\neq0 27+x3−27−x3x+2x43=2(1+2x3)[(27+x3)2+(27+x)(27−x)3+(27−x3)2].\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}
{x+2\sqrt[3]{x^4}}
=
\frac{2}
{(1+2\sqrt[3]{x})
\left[
\left(\sqrt[3]{27+x}\right)^2
+\sqrt[3]{(27+x)(27-x)}
+\left(\sqrt[3]{27-x}\right)^2
\right]}. При x→0x\to0 каждый из кубических корней 27+x3\sqrt[3]{27+x} и 27−x3\sqrt[3]{27-x} стремится к 33. Поэтому lim⁡x→027+x3−27−x3x+2x43=29+9+9=227.\boxed{
\lim_{x\to0}
\frac{\sqrt[3]{27+x}-\sqrt[3]{27-x}}
{x+2\sqrt[3]{x^4}}
=
\frac{2}{9+9+9}
=
\frac{2}{27}
}.
Демидович № 447 — решение