Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 434

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 434

Определить площадь криволинейного треугольника OAMOAM (рис. 3), ограниченного параболойy=b(xa)2,y=b\left(\frac xa\right)^2,осью OxOx и прямой x=ax=a, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямоугольников с основаниями an\dfrac an, где n→∞n\to\infty.
Ответ:Площадь криволинейного треугольника равнаSOAM=ab3S_{OAM}=\frac{ab}{3}

Решение

Здесь a>0a>0 и b>0b>0. Вершины криволинейного треугольника имеют
координатыO=(0,0),A=(a,0),M=(a,b)O=(0,0),
\qquad
A=(a,0),
\qquad
M=(a,b)Разделим отрезок [0,a][0,a] на nn равных частей. Обозначимxj=jan,Δx=an,j=0,1,…,nx_j=\frac{ja}{n},
\qquad
\Delta x=\frac an,
\qquad
j=0,1,\ldots,nНа [0,a][0,a] функция b(x/a)2b(x/a)^2 возрастает. Поэтому прямоугольник над
[xj,xj+1][x_j,x_{j+1}] с высотой, равной значению функции в левой конечной
точке xjx_j, целиком лежит внутри криволинейного треугольника.
Сумма площадей этих вписанных прямоугольников равнаSn=\displaystyle S_n\mathrel{=}∑j=0n−1b(xja)2Δx=\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}b\left(\frac{x_j}{a}\right)^2\Delta x\mathrel{=}abn3∑j=0n−1j2=\displaystyle \frac{ab}{n^3}\sum_{j=0}^{n-1}j^2\mathrel{=}abn3⋅(n−1)n(2n−1)6=\displaystyle \frac{ab}{n^3}\cdot
\frac{(n-1)n(2n-1)}6\mathrel{=}ab6(2−3n+1n2)\displaystyle \frac{ab}{6}\left(2-\frac3n+\frac1{n^2}\right)Чтобы строго обосновать переход к площади всей фигуры, рассмотрим
также прямоугольники с высотами в правых концах. Сумма их площадей
равнаTn=abn3∑j=1nj2T_n=\frac{ab}{n^3}\sum_{j=1}^{n}j^2Разность верхней и нижней сумм стремится к нулюTn−Sn=abn3(n2−02)=abn⟶0T_n-S_n=
\frac{ab}{n^3}\left(n^2-0^2\right)=\frac{ab}{n}
\longrightarrow0Поскольку Sn⩽S⩽TnS_n\leqslant S\leqslant T_n, площадь SS имеет тот же
предел, что и сумма площадей вписанных прямоугольниковS=lim⁡n→∞Sn=ab6lim⁡n→∞(2−3n+1n2)=ab3S=\lim_{n\to\infty}S_n
=\frac{ab}{6}\lim_{n\to\infty}
\left(2-\frac3n+\frac1{n^2}\right)
=\frac{ab}{3}

Геометрическая иллюстрация

На схеме показана парабола, границы
криволинейного треугольника и один из наборов вписанных
прямоугольников. Высота каждого прямоугольника берётся в левом конце
его основания. На рисунке взято n=6n=6. Первый прямоугольник,
соответствующий j=0j=0, имеет нулевую высоту, поэтому он вырожден и на
схеме не виден.рисунок к задаче Демидовича № 434