Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 435

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 435

lim⁡x→+∞x+x+xx+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}.

Решение

Проверка

Рассмотрим предел lim⁡x→+∞x+x+xx+1.\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}. Вынесем xx из-под внешних корней. Сначала преобразуем вложенный корень: x+x=x(1+1x)=x1+1x.\sqrt{x+\sqrt{x}}
=
\sqrt{x\left(1+\frac1{\sqrt{x}}\right)}
=
\sqrt{x}\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}. Тогда x+x+x=x(1+1x1+1x).x+\sqrt{x+\sqrt{x}}
=
x\left(1+\frac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}\right). Отсюда x+x+x=x1+1x1+1x.\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}
=
\sqrt{x}\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}}. Кроме того, x+1=x1+1x.\sqrt{x+1}=\sqrt{x}\sqrt{1+\frac1x}. Сокращая x\sqrt{x}, получаем x+x+xx+1=1+1x1+1x1+1x.\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}
=
\sqrt{
\frac{
1+\dfrac1{\sqrt{x}}\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}
}{
1+\dfrac1x
}
}. При x→+∞x\to+\infty имеем 1x→0,1x→0,\frac1{\sqrt{x}}\to0,\quad \frac1x\to0, поэтому выражение под корнем стремится к 11. Следовательно, lim⁡x→+∞x+x+xx+1=1.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}=1
}.
Демидович № 435 — решение