Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 471

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 471

lim⁡x→0sin⁡5xx.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}.

Решение

Рассмотрим lim⁡x→0sin⁡5xx.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}. Чтобы получить первый замечательный предел, в знаменателе нам нужно иметь 5x5x. Поэтому умножим и разделим дробь на 55:
sin⁡5xx=5sin⁡5x5x.\frac{\sin5x}{x} = 5\frac{\sin5x}{5x}. При x→0x\to0 имеем 5x→05x\to0. По первому замечательному пределу sin⁡5x5x→1.\frac{\sin5x}{5x}\to1.

Проверка

lim⁡x→0sin⁡5xx=5.\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}
=
5
.