Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 442

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.

Решение

Идея

При

x\to16

числитель и знаменатель стремятся к нулю. Заметим, что

\sqrt{x}=(\sqrt[4]{x})^2.

Тогда

\sqrt{x}-4 = (\sqrt[4]{x})^2-2^2 = (\sqrt[4]{x}-2)(\sqrt[4]{x}+2).

При

x\neq16

сокращаем общий множитель:

\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4} = \frac1{\sqrt[4]{x}+2}.

При переходе к пределу имеем

\boxed{\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}=\frac1{2+2}=\frac14}.