Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 442

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 442

lim⁡x→16x4−2x−4.\lim_{x\to16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}.

Решение

При x→16x\to16 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Заметим, что x=(x4)2.\sqrt{x}=(\sqrt[4]{x})^2. Тогда x−4=(x4)2−22=(x4−2)(x4+2).\sqrt{x}-4 = (\sqrt[4]{x})^2-2^2 = (\sqrt[4]{x}-2)(\sqrt[4]{x}+2). При x≠16x\neq16 сокращаем общий множитель: x4−2x−4=1x4+2.\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4} = \frac1{\sqrt[4]{x}+2}. При переходе к пределу имеем
lim⁡x→16x4−2x−4=12+2=14.\lim_{x\to16}
\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}
=
\frac1{2+2}
=
\frac14
.