Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 449

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 449

lim⁡x→7x+2−x+203x+94−2.\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}.

Решение

При x→7x\to7 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Преобразуем числитель: x+2−x+203=(x+2−3)+(3−x+203).\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20} = (\sqrt{x+2}-3)+(3-\sqrt[3]{x+20}). Первое слагаемое равно x+2−3=x−7x+2+3.\sqrt{x+2}-3 = \frac{x-7}{\sqrt{x+2}+3}. Для второго слагаемого используем формулу разности кубов: 3−x+203=−x−7(x+203)2+3x+203+9.3-\sqrt[3]{x+20}
=
-\frac{x-7}
{\left(\sqrt[3]{x+20}\right)^2+3\sqrt[3]{x+20}+9}. Тогда x+2−x+203=(x−7)[1x+2+3−1(x+203)2+3x+203+9].\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}
=
(x-7)\left[
\frac1{\sqrt{x+2}+3}
-
\frac1{\left(\sqrt[3]{x+20}\right)^2+3\sqrt[3]{x+20}+9}
\right].
Преобразуем знаменатель. По формуле разности четвертых степеней x−7=(x+94)4−24,x-7=(\sqrt[4]{x+9})^4-2^4, следовательно, x−7=(x+94−2)[(x+94)3+2(x+94)2+4x+94+8].x-7
=
(\sqrt[4]{x+9}-2)
\left[
(\sqrt[4]{x+9})^3
+2(\sqrt[4]{x+9})^2
+4\sqrt[4]{x+9}+8
\right]. Отсюда получаем, что x+94−2=x−7(x+94)3+2(x+94)2+4x+94+8\sqrt[4]{x+9}-2
= \frac{x-7}{(\sqrt[4]{x+9})^3
+2(\sqrt[4]{x+9})^2
+4\sqrt[4]{x+9}+8} При x≠7x\neq7 сокращаем общий множитель x−7x-7. Получаем x+2−x+203x+94−2=[1x+2+3−1(x+203)2+3x+203+9]\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}
{\sqrt[4]{x+9}-2}
=
\left[
\frac1{\sqrt{x+2}+3}
-
\frac1{\left(\sqrt[3]{x+20}\right)^2+3\sqrt[3]{x+20}+9}
\right] ⋅[(x+94)3+2(x+94)2+4x+94+8].{}\cdot
\left[
(\sqrt[4]{x+9})^3
+2(\sqrt[4]{x+9})^2
+4\sqrt[4]{x+9}+8
\right]. При x→7x\to7 первая скобка стремится к 16−127=954−254=754,\frac16-\frac1{27}=\frac9{54}-\frac2{54}=\frac7{54}, а вторая – к 8+8+8+8=32.8+8+8+8=32.lim⁡x→7x+2−x+203x+94−2=754⋅32=11227.\lim_{x\to7}
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}
{\sqrt[4]{x+9}-2}
=
\frac7{54}\cdot32
=
\frac{112}{27}
.