Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 440

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 440

lim⁡x→3x+13−2x+1x2−9.\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}.

Решение

Идея

При x→3x\to3 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель на сопряженное выражение: x+13−2x+1=(x+13)−4(x+1)x+13+2x+1.\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1} = \frac{(x+13)-4(x+1)} {\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}.
Числитель полученной дроби равен x+13−4x−4=9−3x=−3(x−3).x+13-4x-4=9-3x=-3(x-3). Отсюда x+13−2x+1=−3(x−3)x+13+2x+1.\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1} = -\frac{3(x-3)} {\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1}}. Так как x2−9=(x−3)(x+3),x^2-9=(x-3)(x+3), то при x≠3x\neq3 x+13−2x+1x2−9=−3(x+3)(x+13+2x+1).\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}
=
-\frac{3}
{(x+3)(\sqrt{x+13}+2\sqrt{x+1})}. При переходе к пределу имеем −3(3+3)(16+24)=−36(4+4)=−116.-\frac{3}{(3+3)(\sqrt{16}+2\sqrt4)}
=
-\frac{3}{6(4+4)}
=
-\frac1{16}.

Проверка

lim⁡x→3x+13−2x+1x2−9=−116.\boxed{
\lim_{x\to3}
\frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{x+1}}{x^2-9}
=
-\frac1{16}
}.