Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 441

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}.

Решение

Идея

При

x\to-2

числитель и знаменатель стремятся к нулю.

1
Используем формулу суммы кубов: $x+2=(\sqrt[3]{x-6})^3+2^3.$ Отсюда $x+2=\left(\sqrt[3]{x-6}+2\right)\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right).$ Выразим: $\sqrt[3]{x-6}+2 = \frac{x+2}{ \sqrt[3]{(x-6)^2} -2\sqrt[3]{x-6} +4 }.$ Кроме того, $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4).$ При $x\neq-2$ $\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{(x-6)^2}-2\sqrt[3]{x-6}+4\right)(x^2-2x+4)}.$
2
Теперь переходим к пределу. При $x\to-2$ имеем $\sqrt[3]{x-6}\to-2, \quad \sqrt[3]{(x-6)^2}\to4.$

Тогда $\sqrt[3]{(x-6)^2} -2\sqrt[3]{x-6} +4 \to 4+4+4=12,$ а $x^2-2x+4\to4+4+4=12.$

Проверка

\boxed{\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}=\frac1{144}}.