Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 441

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти предел:

Задача 441

lim⁡x→−2x−63+2x3+8.\lim_{x\to-2}\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}.

Решение

При x→−2x\to-2 числитель и знаменатель стремятся к нулю.
Используем формулу суммы кубов: x+2=(x−63)3+23.x+2=(\sqrt[3]{x-6})^3+2^3. Отсюда x+2=(x−63+2)((x−6)23−2x−63+4).x+2=
\left(\sqrt[3]{x-6}+2\right)
\left(
\sqrt[3]{(x-6)^2}
-2\sqrt[3]{x-6}
+4
\right). Выразим: x−63+2=x+2(x−6)23−2x−63+4.\sqrt[3]{x-6}+2 = \frac{x+2}{ \sqrt[3]{(x-6)^2} -2\sqrt[3]{x-6} +4 }.Кроме того, x3+8=(x+2)(x2−2x+4).x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4). При x≠−2x\neq-2 x−63+2x3+8=1((x−6)23−2x−63+4)(x2−2x+4).\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}
=
\frac{1}{
\left(
\sqrt[3]{(x-6)^2}
-2\sqrt[3]{x-6}
+4
\right)
(x^2-2x+4)
}.
Теперь переходим к пределу. При x→−2x\to-2 имеем x−63→−2,(x−6)23→4.\sqrt[3]{x-6}\to-2, \quad \sqrt[3]{(x-6)^2}\to4.

Тогда (x−6)23−2x−63+4→4+4+4=12,\sqrt[3]{(x-6)^2} -2\sqrt[3]{x-6} +4 \to 4+4+4=12, а x2−2x+4→4+4+4=12.x^2-2x+4\to4+4+4=12.

Проверка

lim⁡x→−2x−63+2x3+8=1144.\lim_{x\to-2}
\frac{\sqrt[3]{x-6}+2}{x^3+8}
=
\frac1{144}
.