Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 458

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 458

lim⁡x→+∞(x+x+x−x).\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right).

Решение

Умножим разность на сопряженное выражение: x+x+x−x=x+xx+x+x+x.\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
=
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}
{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}. Разделим числитель и знаменатель на x\sqrt{x}. В числителе x+xx=1+1x.\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} = \sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}. Кроме того, x+x+xx=1+x+xx=1+1x1+1x.\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}
=
\sqrt{
1+
\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x}
}
=
\sqrt{
1+
\frac1{\sqrt{x}}
\sqrt{1+\frac1{\sqrt{x}}}
}. Отсюда x+x+x−x=1+1x1+1x1+1x+1.\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
=
\frac{
\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}
}{
\sqrt{
1+\dfrac1{\sqrt{x}}
\sqrt{1+\dfrac1{\sqrt{x}}}
}
+1
}. При x→+∞x\to+\infty все дроби с x\sqrt{x} в знаменателе стремятся к нулю. Поэтому lim⁡x→+∞(x+x+x−x)=12.\boxed{
\lim_{x\to+\infty}
\left(
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
\right)
=
\frac12
}.
Демидович № 458 — решение